An bhfuil fíordhifríocht choincheapúil idir uimhreacha réasúnach agus neamhréasúnach nó an déantúsán dár gcóras uimhrithe iad na difríochtaí?


freagra 1:

Tá an difríocht choincheapúil idir an dá ollmhór. Sainmhínítear uimhreacha réasúnach go hailgéabrach amháin: Tosaíonn siad le fáinne na slánuimhreacha (an fáinne is lú ina bhfuil gné d’ord gan teorainn - eadhon uimhir 1) agus tógann siad a réimse codánach. Is nós imeachta teoranta, ailgéabrach é seo. Ní theastaíonn aon choincheapa anailíse (amhail teorainneacha, cóineasú, srl.). Ach chun fíoruimhreacha a shainiú, teastaíonn anailís uainn. Teastaíonn coincheap “méadrach” uainn go háirithe i réimse na bhfíoruimhreacha (is é sin foirmiú matamaiticiúil ar choincheap an achair) agus an coincheap "réimse a chríochnú i ndáil le méadracht". Sainmhínítear tacar na bhfíoruimhreacha mar chríochnú réimse na n-uimhreacha réasúnach i gcoibhneas leis an méadracht chaighdeánach (Archimedean). Go sonrach, is é atá ann an tacar aicmí coibhéise de na “seichimh Cauchy” d’uimhreacha réasúnacha i gcoibhneas leis an méadracht chaighdeánach (is réimse é i ndáiríre).

Tá tacar na n-uimhreacha réasúnach le fáil ar ndóigh i tacar na bhfíoruimhreacha: Bíonn seicheamh leanúnach Cauchy mar thoradh ar gach uimhir réasúnach x (x, x, x, x, ...). Is é comhlánú na sraithe uimhreacha réasúnacha i tacar na bhfíoruimhreacha an tacar ar a dtugtar tacar na n-uimhreacha neamhréasúnach. Go sonrach, is féidir linn aon fhíoruimhir a léiriú i bhfoirm deachúil. Níl anseo ach bealach speisialta chun seicheamh Cauchy den uimhir seo a thaifeadadh (eadhon, is é an t-ord Cauchy, a fhreagraíonn do léiriú deachúil ar fhíoruimhir, seicheamh a chéad n dhigit do gach n). Mar sin féin, níl aon bhaint ag coincheap na bhfíoruimhreacha (agus dá bhrí sin uimhreacha neamhréasúnacha) le bealach ar leith chun uimhreacha a léiriú. Mar shampla, d’fhéadfaimis foirm dhénártha nó foirm “base k” éigin eile a úsáid ina ionad. Níl anseo ach ceist ionadaíochta. Sainmhínítear coincheap fíoruimhir go neamhspleách ar léiriú áirithe.

Má fhéachann tú ar an sainmhíniú seo, is léir cé mhéad uimhreacha neamhréasúnacha níos sofaisticiúla ná uimhreacha réasúnach. Níl dhá thaobh den bhonn céanna ar uimhreacha réasúnacha agus neamhréasúnacha. Mar shampla, tá an t-iar-tacar comhaireamh agus níl an dara ceann (is é seo conclúid argóint trasnánach an chanóra cháiliúil). Cruthaíonn uimhreacha réasúnach réimse (is fo-réimse de réimse na bhfíoruimhreacha é), ach ní hionann uimhreacha neamhréasúnacha.

Ba mhaith liom a lua freisin go bhfuil go leor comhghleacaithe sa mhatamaitic ag an dá choincheap seo. Is féidir linn tosú le haon fháinne in ionad an fháinne slánuimhreacha; Mar shampla, fáinne na slánuimhreacha Gaussacha (a + bi), áit arb mise fréamh chearnach -1 agus a thógann a réimse codánach. Ansin is féidir linn méadracht a thabhairt isteach don réimse sin agus é a chríochnú. Má bhainimid úsáid as an méadracht chaighdeánach (Archimedean) i gcás slánuimhreacha Gaussacha, faigheann muid réimse na n-uimhreacha casta mar chríochnú. Tá ginearálú eile ann: i dteannta leis an méadracht Archimedean i réimse na n-uimhreacha réasúnach (nó réimse na gcodán d’fháinne eile, amhail fáinne slánuimhreacha Gaussacha), tá méadrachtaí eile ann. Maidir le réimse na n-uimhreacha réasúnach tá, mar shampla, na méadrachtaí p-adic mar a thugtar orthu do gach príomhuimhir p. Tugtar réimse na n-uimhreacha p-adic ar chríochnú réimse na n-uimhreacha réasúnach i ndáil leis an méadracht p-adic. Tá sé chomh spéisiúil staidéar a dhéanamh orthu seo agus réimsí na bhfíor-uimhreacha casta, agus tá go leor taighde déanta sa réimse seo le 100 bliain anuas. Mar thoradh ar do cheist tá roinnt smaointe agus tógálacha fíor-spéisiúla againn. (Le haghaidh tuilleadh faisnéise, níl ort ach google na coincheapa a leag mé béim orthu thuas.)


freagra 2:

Sea

Chomh luath agus a shainíonn tú iad, tá siad an-éagsúil. Is iad uimhreacha réasúnach na huimhreacha sin is féidir a chur in iúl mar chóimheas dhá shlánuimhir. Is iad uimhreacha neamhréasúnacha na cinn nach féidir. Is gnách go mbíonn sé níos éasca aon uimhir réasúnach a ríomh agus a ionramháil, mar nuair a bhíonn a fhios agam go bhfuil ceann agam, is féidir liom í a scríobh síos ionas gur féidir í a chur leis, a iolrú, a dhealú agus a roinnt. Níl ag éirí go neamhréasúnach chomh maith.

De bharr go bhfuil inbhéartuithe iolraitheacha acu is réimse iad. Tá siad dúnta freisin mar chuid de na hoibríochtaí thuas. Is féidir leat dhá uimhir neamhréasúnach a iolrú agus réasúnaíocht amháin a fháil - an fuiliú neamhréasúnach ar bhealach nach ndéanann an réasúnach.

Ina theannta sin, braitheann a n-infinities an-difriúil (agus a dhéanann siad). Is é ceann éigríocht inláimhsithe, samhlaíoch, beagnach infheicthe na n-uimhreacha agus an ceann eile dlús dothuigthe an chontanam.

Táim cinnte go bhfuil níos mó ann; Tá m’eolas teoranta, ach seo iad na cinn is soiléire.


freagra 3:

Sea

Chomh luath agus a shainíonn tú iad, tá siad an-éagsúil. Is iad uimhreacha réasúnach na huimhreacha sin is féidir a chur in iúl mar chóimheas dhá shlánuimhir. Is iad uimhreacha neamhréasúnacha na cinn nach féidir. Is gnách go mbíonn sé níos éasca aon uimhir réasúnach a ríomh agus a ionramháil, mar nuair a bhíonn a fhios agam go bhfuil ceann agam, is féidir liom í a scríobh síos ionas gur féidir í a chur leis, a iolrú, a dhealú agus a roinnt. Níl ag éirí go neamhréasúnach chomh maith.

De bharr go bhfuil inbhéartuithe iolraitheacha acu is réimse iad. Tá siad dúnta freisin mar chuid de na hoibríochtaí thuas. Is féidir leat dhá uimhir neamhréasúnach a iolrú agus réasúnaíocht amháin a fháil - an fuiliú neamhréasúnach ar bhealach nach ndéanann an réasúnach.

Ina theannta sin, braitheann a n-infinities an-difriúil (agus a dhéanann siad). Is é ceann éigríocht inláimhsithe, samhlaíoch, beagnach infheicthe na n-uimhreacha agus an ceann eile dlús dothuigthe an chontanam.

Táim cinnte go bhfuil níos mó ann; Tá m’eolas teoranta, ach seo iad na cinn is soiléire.


freagra 4:

Sea

Chomh luath agus a shainíonn tú iad, tá siad an-éagsúil. Is iad uimhreacha réasúnach na huimhreacha sin is féidir a chur in iúl mar chóimheas dhá shlánuimhir. Is iad uimhreacha neamhréasúnacha na cinn nach féidir. Is gnách go mbíonn sé níos éasca aon uimhir réasúnach a ríomh agus a ionramháil, mar nuair a bhíonn a fhios agam go bhfuil ceann agam, is féidir liom í a scríobh síos ionas gur féidir í a chur leis, a iolrú, a dhealú agus a roinnt. Níl ag éirí go neamhréasúnach chomh maith.

De bharr go bhfuil inbhéartuithe iolraitheacha acu is réimse iad. Tá siad dúnta freisin mar chuid de na hoibríochtaí thuas. Is féidir leat dhá uimhir neamhréasúnach a iolrú agus réasúnaíocht amháin a fháil - an fuiliú neamhréasúnach ar bhealach nach ndéanann an réasúnach.

Ina theannta sin, braitheann a n-infinities an-difriúil (agus a dhéanann siad). Is é ceann éigríocht inláimhsithe, samhlaíoch, beagnach infheicthe na n-uimhreacha agus an ceann eile dlús dothuigthe an chontanam.

Táim cinnte go bhfuil níos mó ann; Tá m’eolas teoranta, ach seo iad na cinn is soiléire.